Definition

L’ensemble des parties d’un ensemble $A$ est l’ensemble des ensembles qui sont des parties de $A$.

$$2^A = \{a | a \subseteq A\}$$

Exemple

Soit l’ensemble $A = \{a, b, c\}$.

L’ensemble des parties de A est $2^A = \{\{\},\{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}$.

Le cardinal de cet ensemble est $|2^A| = 2^{|A|} = 8$.

Ecriture en Latex

L’ensemble des parties d’un ensemble $A$ est écrit en latex avec la commande \mathcal{P}(A) ou 2^A.

Par exemple, l’ensemble des parties de $A = \{a, b, c\}$ est écrit en latex sous la forme $\mathcal{P}(A)$.

Utilisation en Python

En python, l’ensemble des parties d’un ensemble $A$ peut être obtenu avec la fonction powerset() de la bibliothèque itertools.

Par exemple, l’ensemble des parties de $A = \{a, b, c\}$ est obtenu avec le code suivant:

from itertools import powerset

A = {'a', 'b', 'c'}

P = powerset(A)

print(P) # {(), ('a',), ('c',), ('b',), ('a',  'b'), ('a', 'c'), ('b', 'c'), ('a', 'b', 'c')}