Ensemble des parties d'un ensemble
Cet article décrit l'ensemble des parties d'un ensemble. La définition, un exemple, son écriture en latex ainsi que son utilisation en python sont développés dans cet article.
This article has been written by Robin Pourtaud ([email protected]) and published on December 24, 2022.
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Definition
L’ensemble des parties d’un ensemble $A$ est l’ensemble des ensembles qui sont des parties de $A$.
$$2^A = \{a | a \subseteq A\}$$
Exemple
Soit l’ensemble $A = \{a, b, c\}$.
L’ensemble des parties de A est $2^A = \{\{\},\{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}$.
Le cardinal de cet ensemble est $|2^A| = 2^{|A|} = 8$.
Ecriture en Latex
L’ensemble des parties d’un ensemble $A$ est écrit en latex avec la commande \mathcal{P}(A) ou 2^A.
Par exemple, l’ensemble des parties de $A = \{a, b, c\}$ est écrit en latex sous la forme $\mathcal{P}(A)$.
Utilisation en Python
En python, l’ensemble des parties d’un ensemble $A$ peut être obtenu avec la fonction powerset() de la bibliothèque itertools.
Par exemple, l’ensemble des parties de $A = \{a, b, c\}$ est obtenu avec le code suivant:
from itertools import powerset
A = {'a', 'b', 'c'}
P = powerset(A)
print(P) # {(), ('a',), ('c',), ('b',), ('a', 'b'), ('a', 'c'), ('b', 'c'), ('a', 'b', 'c')}