数学における'?'表記：Termial

コンピュータ科学者ドナルド・クヌースが彼の著書「コンピュータサイエンスの芸術」で導入した'?'表記。英語でTermialと呼ばれるこの疑問符表記'n?'は、n以下のすべての自然数の和を表しています。

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This article has been written by ロビン・ポルト ([email protected]) and published on December 1, 2023.
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注意点：

  1. この表記は一般的には使用されていないので、適切な文脈で使用する必要があります。
  2. 疑問符表記はミンコフスキーの 疑問符関数とは異なります。
  3. 「Termial」のフランス語訳は見つかりませんでした。

定義：

クヌースはTermialを階乗関数「!」に類似した関数として提示しています。

階乗関数は$\forall n \in \mathbb{N}$に対して以下のように定義されます：

$$n!=\prod^n_{i=1}i= 1 \times 2 \times \ldots \times (n-1) \times n$$

「termial」関数は以下のように定義されます：

$$n?=\sum^n_{i=1}i = 1 + 2 + \ldots + (n-1) + n$$

この級数は大まかに発散します。

非整数nに対する拡張：

階乗関数がガンマ関数を用いて非整数値に拡張されるように、「Termial」関数も非整数値に拡張することができます：

$$n?=\sum^n_{i=1}i = \frac{n(n+1)}{2}$$

したがって：

$$0.5? = \frac{0.5(0.5+1)}{2} = \frac{3}{8}$$

参考文献：

  1. DONALD (“DON”) ERVIN KNUTH
  2. ドナルド・E・クヌース (1997). コンピュータプログラミングの技術: 第1巻: 基本アルゴリズム. 第3版. アディソンウェスリーロングマン, U.S.A. p. 48.
  3. en.wikipedia.org - Termial