Les Valeurs et Vecteurs Propres

Soit E un espace vectoriel de dimension fini, sur $\mathbb{K}$. $f$ un endomorphisme (applications linéaires d’un espace vectoriel dans lui-même) de E.

Définition

Un scalaire $\lambda$ est une valeur propre de $f$ s’il existe un vecteur x (le vecteur propre) non nul tel que $f(x)=\lambda x$.

Exemple

$$A = \begin{bmatrix} 7 & 2 \cr -4 & 1 \end{bmatrix}$$

Calcul du Polynôme Caractéristique

Le polynome caractéristique de A est défini comme: $\chi_A(\lambda) = \det(\lambda I_{dim A} - A)$.

Ainsi :

$$\chi_A(\lambda) = \det \begin{bmatrix} \lambda - 7 & -2 \cr 4 & \lambda -1 \end{bmatrix} = (\lambda - 7)(\lambda - 1) + 8 = (\lambda - 3)(\lambda - 5)$$

Calcul des Valeurs Propres

Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique. C’est à dire les solutions de $\ker \chi_A(\lambda)$.

$(\lambda - 3)(\lambda - 5) = 0$ Admet 2 solutions: $\lambda_{1,2}=\{3,5\}$

Le Spectre d’une matrice est l’ensembles de ses Valeurs Propres associées. Ainsi :

$$Sp(A)=\{3,5\}$$

Calcul des Vecteurs Propres

Pour calculer les Vecteurs Propres, on cherche les solutions de $\ker(\lambda_{1,2} I - A)$.

Pour $\lambda = 3$.

$$\ker (3I - A) = \ker \begin{bmatrix} -4 & -2 \cr 4 & 2 \end{bmatrix}$$

Soit un Vecteur $x = \begin{bmatrix} X \cr Y \end{bmatrix}$.

$$\begin{bmatrix} -4 & -2 \cr 4 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} X \cr Y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \cr 0 \end{bmatrix} \Rightarrow 2X+Y = 0 \Rightarrow Y=-2X \Rightarrow \begin{bmatrix} X \cr Y \end{bmatrix} = X \begin{bmatrix} 1 \cr -2 \end{bmatrix}$$

$$\ker(3I - A) = Vect\{\begin{bmatrix} 1 \cr -2 \end{bmatrix}\}$$

Un vecteur propre associé à $\lambda = 3$ est donc $\begin{bmatrix} 1 \cr -2 \end{bmatrix}$.

De la même façon, un vecteur propre de $\lambda=5$ est $\begin{bmatrix} 1 \cr -1 \end{bmatrix}$.

mowse