Propriété

L’union d’ensembles finis est finie. Formellement :

$\forall I$​​ tel que $\#I = n$​​ avec $n \in \mathbb{N}^*$​​, $\forall(A_i) ; i \in I$​​​ une suite d’ensembles finis, $\bigcup_{i \in I} A_i$​​ est fini.

Nous prenons un $I$ quelconque et non directement $\mathbb{N}$​​ pour généraliser cette propriété en dehors des entiers naturels.

Démonstration

Démontrons cette propriété par récurrence.

Propriété Inductive : Soit l’assertion $P(n) : \forall I$​​​​​ tel que $|I| = n$​​​​​ avec $n \in \mathbb{N}^\ast$, $\forall(A_i) ; i \in I$ une suite d’ensembles finis, $\bigcup_{i \in I} A_i$​​​​​ est fini.

Initialisation : Pour $n=1$​​​.

Soit $I$​​​ un ensemble tel que $|I|=1$​​​​​ et $A_i ; \forall i \in I$​​​​ une suite d’ensembles finis. Comme I ne possède qu’un élément, $I = {x}$​​​. Donc $\bigcup_{i \in I}A_i = \bigcup_{i\in\{x\}}A_i = A_x$​​​. Nous avons bien $A_x$​​​ fini, donc $\cup_{i\in I}A_i$​​​​​ est fini.

Induction : Supposons P(n) vrai pour $n \in \mathbb{N}^\ast$. Montrons que $P(n+1)$ l’est également.

Soit $I$ tel que $|I| = n+1$ et $A_i ; i \in I$ une suite d’ensembles finis. Nous avons donc $n \in \mathbb{N}^\ast$ $\exists x \in I$ tel que $|I \backslash \{x\}|= n$. Ainsi : $\bigcup_{i \in I} A_i = \bigcup_{i\in I \backslash\{x\}}A_i \cup A_x$. Nous avons $|I \backslash \{x\}|=n$ et l’assertion $P(n)$​​​ est vraie. Or, l’union de deux ensembles finis est finie (non démontrée ici).

$\bigcup_{i \in I} A_i$ est donc fini. On a bien $P(n) \Rightarrow P(n+1)$​.

Conclusion : Par le théorème de récurrence, l’assertion P(n) est vraie $\forall n \in \mathbb{N}^*$​.