Exercice :

Dans $\mathbb{R}$ et dans $\mathbb{C}$, résoudre :

$$\cos x \sin x = 1$$

Résolution :

1 - Recherche d’une solution dans R

Soit la formule de trigonométrie suivante :

$$2sin(x)cos(x)=sin(2x)$$

Alors :

$$sin(x)cos(x)=\frac{sin(2x)}{2}$$

Nous pouvons reprendre l’équation :

$$cos(x)sin(x)=1$$

Elle est donc équivalente à :

$$sin(2x) = 2$$

Comme $\forall x \in \mathbb{R} ;|; sin(x) \in [0,1]$.

Cette équation n’admet donc pas de solution dans R.

2 - Introduction des formules d’Euler

Continuons dans $\mathbb{C}$ :

Soit la formule d’Euler :

$$sin(\theta)=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$$

En effectuant le changement de variable $\theta = 2x$, nous nous retrouvons avec l’équation suivante :

$$\frac{e^{i2x}-e^{-i2x}}{2i} = 2$$

3 - Substitution

En multipliant le numérateur et le dénominateur par i, on a :

$$\frac{1}{2}ie^{-2ix}-\frac{1}{2}ie^{2ix}=2$$

$$\frac{1}{4\times \frac{-1}{2}ie^{2ix}}-\frac{1}{2}ie^{2ix}=2$$

Prenons maintenant $y = \frac{-1}{2}ie^{2ix}$.

Cela nous revient à résoudre le système :

$$\begin{cases}\frac{-1}{2}ie^{2ix} ; = ; y \cr \frac{1}{4y}+y ; = ; 2 \end{cases}$$

4 - Recherche des solutions y

Soit :

$$\frac{1}{4y}+y = 2$$

En mettant sur le même dénominateur :

$$\frac{4y^2+1}{4y}=2$$

$$4y^2-8y+1=0$$

En utilisant les formule du second degré. On trouve aisément que :

Son discriminant $\Delta=64-16=48$. Cette équation admet donc 2 solutions réelles :

$$y=1\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$$

5 - Recherche de la première solution

Soit $y=1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ :

En “dé-substituant” la variable y, nous nous retrouvons avec l’équation suivante :

$$\frac{-ie^{2ix}}{2}=1+\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$e^{2ix}=-\frac{2+\sqrt{3}}{i}$$

$$e^{2ix}=i(2+\sqrt{3})$$

Avec $\forall k \in \mathbb{Z}$, nos équations appartenant au plan complexe, nous avons donc une infinité de solutions :

$$e^{2ix+2ik\pi}=i(2+\sqrt{3})$$

$$2ix = ln(i(2+\sqrt{3})) - 2ik\pi$$

Le signe de $2ik\pi$ n’a pas d’importance, k étant positif ou négatif. Ainsi nous obtenons la première solution :

$$x = \frac{ln(i(2+\sqrt{3}))}{2i} + k\pi$$

6 - Recherche de la deuxième solution

Soit $y=1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$ :

En dé-substituant la variable y, nous nous retrouvons avec l’équation suivante :

$$\frac{-ie^{2ix}}{2}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$e^{2ix}=-\frac{2-\sqrt{3}}{i}$$

$$e^{2ix}=i(2-\sqrt{3})$$

Avec $\forall k \in \mathbb{Z}$, nos équations appartenant au plan complexe, nous avons donc une infinité de solutions :

$$e^{2ix+2ik\pi}=i(2-\sqrt{3})$$

$$2ix = ln(i(2-\sqrt{3})) - 2ik\pi$$

Le signe de $2ik\pi$ n’a pas d’importance, k étant positif ou négatif. Ainsi nous obtenons la deuxième solution :

$$x = \frac{ln(i(2-\sqrt{3}))}{2i} + k\pi$$