Pourquoi 0!=1 ?
3 factoriel est égal à 1 fois 2 fois 3, 2 factoriel est égal à 1 fois 2, 1 factoriel est égal à 1. En suivant cette logique, pourquoi 0 factoriel ne serait pas égal à rien, soit 0 ? C'est ce qu'on va essayer de comprendre à travers cet article.
Définition : “Factoriel”
En dénombrement, le factoriel d’un entier naturel “n” est égal au produit des entiers naturels appartenant à $]0,n]$. Autrement dit :
$$n! = \prod^n_{i=1} i = 1 \times 2 \times \ldots \times (n-1) \times n$$
Pourquoi 0! est égal à 1 ?
Depuis la définition du factoriel
Repartons de la définition :
$$n! = 1 \times \ldots \times (n-1) \times n!$$
Autrement dit $n! = n \times (n-1)!$. Cependant, si on prend $n = 0$, nous obtenons l’égalité $0! = 0 \times (-1)!$. Le factoriel de -1 étant indéfini…
Néanmoins :
$$n! = n \times (n-1)! \equiv (n-1)! = \frac{n!}{n}$$
Pour $n = 1$, alors :
$$(1-1) ! = \frac{1!}{1} = 0! = 1$$
Depuis la fonction Gamma
On sait que :
$$\forall n \in\mathbb{N}^* \quad|\quad \Gamma(n)=(n-1)!=\int_0^{+\infty}t^{n-1}\times e^{-t}dt$$
Ce qui nous donne : $$0! = (1-1)! = \Gamma(1) = \int_0^{+\infty} t^{1-1} e^{-t} dt$$
Ou tout simplement :
$$\int_0^{+\infty}e^{-t}dt$$
La primitive de $e^{-t}$ est $-e^{-t}$.
Ainsi :
$$0! = (\lim_{t\to\infty} -e^{-t}) - (-e^0) = 0 + 1 = 1$$
Depuis la définition des permutations d’un ensemble
En pratique, on peut utiliser le factoriel pour, par exemple, calculer le nombre de permutations d’un ensemble :
Si un ensemble $E=\{0,1\}$, alors cet ensemble peut être permuté $\#E$ fois (2 fois). L’ensemble des permutations est donc : $\{(0,1),(1,0)\}$.
Si un ensemble $E=\{0,1,2\}$, alors cet ensemble peut être permuté 6 fois : Son ensemble de permutations étant $\{(0,1,2),(0,2,1),(1,0,2),(1,2,0),(2,0,1),(2,1,0)\}$.
Donc, si un ensemble $E = \emptyset$, alors son cardinal est 0 et peut être permuté 1 fois. “Il existe une seule possibilité pour permuter 0 élément”. L’ensemble de ses permutations étant $\{\emptyset\}$.