Régles et opérations sur les fractions
Cet article présente l'ensemble des règles autorisées sur les fractions en mathématiques.
Tableau récapitulatif des opérations autorisées sur les fractions
- Le numérateur d’une fraction est “le dessus” de la fraction, le dénominateur “le dessous” : $\frac{\text{Numérateur}}{\text{Denominateur}}$
- La division par 0 est impossible. Par exemple, $0\times 6 = 0 \times 5$. Si nous divisons les deux membres de l’équation par 0, nous avons $6=5$, ce qui est bien évidemment faux.
| Operation | Simplification | Exemple |
|---|---|---|
| Addition de 2 fractions (même dénominateur) | $\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}$ | $\frac{5}{2}+\frac{3}{2} = \frac{8}{2}$ |
| Addition de 2 fractions (dénominateurs différents) | $\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{a\times d}{b \times d}+\frac{c\times b}{d\times b} = \frac{a\times d + c \times b}{b\times d}$ | $\frac{5}{3}+\frac{3}{2} = \frac{10}{6}+\frac{9}{6}=\frac{19}{6}$ |
| Soustraction de 2 fractions (même dénominateur) | $\frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}$ | $\frac{5}{2}-\frac{3}{2} = \frac{2}{2}$ |
| Soustraction de 2 fractions (dénominateurs différents) | $\frac{a}{b}-\frac{c}{d} = \frac{a\times d}{b \times d}-\frac{c\times b}{d\times b} = \frac{a\times d - c \times b}{b\times d}$ | $\frac{5}{3}-\frac{3}{2} = \frac{10}{6}-\frac{9}{6}=\frac{1}{6}$ |
| Multiplication d’un nombre et d’une fraction | $k \times \frac{a}{b} = \frac{k \times a}{b}$ | $3 \times \frac{11}{2} = \frac{33}{2}$ |
| Multiplication de 2 fractions | $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d} = \frac{a\times c}{c \times d}$ | $\frac{3}{2}\times \frac{5}{3} = \frac{15}{6}$ |
| Division de 2 fractions | $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b \times \frac{c}{d}} = \frac{a}{b}\times \frac{d}{c}$ | $\frac{\frac{10}{4}}{\frac{2}{7}}=\frac{10}{4 \times \frac{2}{7}} = \frac{10}{4}\times \frac{7}{2}=\frac{17}{8}$ |
| Division d’un nombre par une fraction | $\frac{a}{\frac{c}{d}} = a\times \frac{d}{c}$ | $\frac{4}{\frac{2}{5}} = 4 \times \frac{5}{2}$ |
| Simplification (réduction) de fractions | $\frac{k \times a}{k \times b} = \frac{a}{b}$ | $\frac{22}{4}=\frac{2\times 11}{2 \times 2} = \frac{11}{2}$ |
Les opérations plus avancées d’un niveau Lycée tel que le logarithme sont disponibles sur wikipédia.
Exemple / Exercice corrigé
Enoncer
Voici un petit exercice corrigé pour vous familiariser avec ces formules.
Simplifiez au maximum les formules suivantes :
- $\frac{14}{98}$
- $\frac{10+\frac{4}{7}}{10}$
- $\frac{\frac{\frac{9}{8}\times 8}{8}}{9}$
- $\frac{2}{0}$
- $\frac{5a+5b}{10a + 10b}$
Correction
- $\frac{14}{98} = \frac{7\times 2}{49 \times 2} = \frac{7}{49} = \frac{1 \times 7}{7\times 7} = \frac{1}{7}$
- $\frac{\frac{70+4}{7}}{10}=\frac{74}{10}=\frac{37}{5}$
- $\frac{\frac{\frac{9}{8}\times 8}{8}}{9} = \frac{\frac{9}{8}}{9}=\frac{1}{8}$
- Impossible ! Division par 0 !
- $\frac{5a+5b}{10a + 10b}=\frac{5(a+b)}{10(a+b)}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$
On dira de ces fractions qu’elles sont irréductibles. Plus formellement, une fraction est irréductible quand le PGCD du dénominateur et du numérateur est 1. Autrement dit, le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.