This article has been written by Robin Pourtaud ([email protected]) and published on September 15, 2020.
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Énoncé : Une histoire de pigeon
A Central Parc, il y a 250 oiseaux à 3 couleurs. Parmi eux se trouvent :
- 68 oiseaux possédant des plumes magentas et blanches
- 133 oiseaux possédant des plumes blanches
- 192 oiseaux ne possédant pas de plumes blanches ou ne possédant pas de plumes vertes
- 213 oiseaux possédant des plumes magentas ou vertes
Seuls les pigeons sont verts, magentas et blancs, pouvez vous les dénombrer ?
Aide :
Pensez à la formule du crible de Poincaré puis aux lois de De Morgan !
Si vous ne les avez pas en tête, vous pouvez toujours essayer de faire un schéma :
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Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Principe_d%27inclusion-exclusion
Correction :
On peut commencer par traduire les événements :
- V : “Oiseaux possédant des plumes vertes”
- B : “Oiseaux possédant des plumes blanches”
- M : “Oiseaux possédant des plumes magenta”
Ainsi, l’univers $\Omega = V\cup B \cup M$.
Nous avons
- $\#(M\cap B)=68$
- $\#B=133$
- $\#(\overline{B}\cup\overline{V})=192$
- $\#(M\cup V)=213$
Selon la formule du crible de Poincaré
$$\#(M\cup V \cup B) = \#M + \#V + \#B - \#(M\cap V) - \#(M\cap B) - \#(V \cap B) + \#(M \cap V \cap B)$$
$$\#(M\cap V \cap B) = \#(M \cup V \cup B) - \#M - \#V - \#B + \#(M\cap V) + \#(M\cap B) + \#(V \cap B)$$
En utilisant une fois de plus la formule de Poincaré et une fois une loi de De Morgan
$$= \#\Omega - \#M - \#V - \#B + (\#M + \#V - \#(M\cup V)) + \#(M\cap B) + (\#\Omega - \#(\overline{V}\cup \overline{B}))$$
$$= 2 \times \#\Omega - \#B - \#(M\cup V)+ \#(M\cap B) - \#(\overline{V}\cup \overline{B})$$
Ainsi
$$=500 - 133 - 213 + 68 - 192 = 30$$
Il y a donc dans Central Park 30 pigeons.