Dérivées usuelles
Un guide concis sur les dérivées les plus couramment utilisées en mathématiques.
Rappels
- Le domaine de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est définie. Par exemple, la fonction $f(x) = \sqrt{x}$ est définie pour $x \geq 0$.
- La dérivée d’une fonction en un point donne le taux de variation instantané de la fonction à ce point. Elle est fondamentale en analyse pour étudier les variations des fonctions.
Tableau des dérivées usuelles
| Domaine de définition | Fonction | Dérivé de la fonction | Exemple |
|---|---|---|---|
| $\mathbb{R}$ | $k$ | $0$ | $f’(10) = 0$ |
| $\mathbb{R}$ | $kx$ | $k$ | $f’(5x) = 5$ |
| $\mathbb{R}$ | $x^k$ | $kx^{k-1}$ | $f’(x^{10}) = 10x^9$ |
| $\mathbb{R}^{*+}$ | $\ln(x)$ | $\frac{1}{x}$ | $f’(\ln(x)) = \frac{1}{x}$ |
| $\mathbb{R}$ | $e^x$ | $e^x$ | $f’(e^x) = e^x$ |
| $\mathbb{R}$ | $\sin(x)$ | $\cos(x)$ | $f’(\sin(x)) = \cos(x)$ |
| $\mathbb{R}$ | $\cos(x)$ | $-\sin(x)$ | $f’(\cos(x)) = -\sin(x)$ |
| $\mathbb{R}\setminus{k\pi, k\in\mathbb{Z}}$ | $\tan(x)$ | $1 + \tan^2(x)$ | $f’(\tan(x)) = 1 + \tan^2(x)$ |
| $\mathbb{R}\setminus{\frac{(2k+1)\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}}$ | $\cot(x)$ | $-1 - \cot^2(x)$ | $f’(\cot(x)) = -1 - \cot^2(x)$ |
| $\mathbb{R}^{*}$ | $x^n$ (négatif) | $nx^{n-1}$ | $f’(x^{-3}) = -3x^{-4}$ |
| $(0, +\infty)$ | $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $f’(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $\mathbb{R}^{*+}$ | $x^{\frac{1}{n}}$ (n entier positif) | $\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$ | $f’(x^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$ |
| $\mathbb{R}$ | $a^x$ (a > 0, a ≠ 1) | $a^x\ln(a)$ | $f’(2^x) = 2^x\ln(2)$ |
| $\mathbb{R}$ | $\sinh(x)$ | $\cosh(x)$ | $f’(\sinh(x)) = \cosh(x)$ |
| $\mathbb{R}$ | $\cosh(x)$ | $\sinh(x)$ | $f’(\cosh(x)) = \sinh(x)$ |
| $\mathbb{R}$ | $\tanh(x)$ | $1 - \tanh^2(x)$ | $f’(\tanh(x)) = 1 - \tanh^2(x)$ |
Ce tableau étendu offre une vision plus complète des dérivées courantes en mathématiques, couvrant une gamme variée de fonctions, y compris certaines fonctions exponentielles et hyperboliques. Ces dérivées sont essentielles pour diverses applications en analyse et en physique.