Démonstration : Somme des k(k parmi n)
Cet article présente la démonstration de : la somme des k fois k parmi n = n fois 2 puissance (n moins 1).
Identité :
Une des célèbres formules utilisant les coefficients binomiaux est la suivante :
$$\sum^n_{k=1} k\binom{n}{k} = n \times 2^{n-1}$$
Démonstration :
- On commence par reprendre la formule du binôme de Newton :
$$\sum^n_{k=1} \binom{n}{k}a^{k}b^{n-k}=(a+b)^n$$
- Soit $b = 1$, alors :
$$\sum^n_{k=1} \binom{n}{k}a^{k} = (a+1)^n$$
- Dérivons l’équation selon $a$ comme ceci :
$$\frac{d}{da}(\sum^n_{k=1} \binom{n}{k}a^{k} = (a+1)^n)$$
- Ce qui donne :
$$\sum^n_{k=1} \binom{n}{k}ka^{k-1} = n(a+1)^{n-1}$$
- Nous pouvons maintenant prendre $a = 1$ et retrouver l’équation :
$$\sum^n_{k=1} k\binom{n}{k} = n \times 2^{n-1}$$