Définition :

La somme des combinaisons de k=0 à n de k parmi n est égale à 2 à la puissance n.

$$\sum_{k=0}^n {n \choose k}= 2^n$$

Démonstrations :

Démonstration 1 :

Cette première démonstration est la plus rapide et directe. Elle s’appuiera sur la formule du binôme de Newton :

$$\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{k} y^{n-k}=(x+y)^n$$

Si nous prenons $x=1$ et $y=1$, alors obtenons l’égalité :

$$\sum_{k=0}^n {n \choose k } 1^k1^{n-k}=(1+1)^n$$

Ce qui nous donne :

$$\sum_{k=0}^n {n \choose k}= 2^n$$

Démonstration 2 :

Cette deuxième démonstration s’appuie sur la définition exprimant le cardinal de l’ensemble des parties d’un ensemble quelconque comme étant égal à 2 à la puissance du cardinal de l’ensemble.

Soit un ensemble E de cardinal n, alors l’ensemble ayant pour éléments tous les sous-ensembles de E est appelé ensemble des parties de E, noté $\mathcal{P}(E)$.

Par exemple :

Soit $E=\{a,b,c\}$, alors : $n = \#E = 3$ et $\mathcal{P}(E)=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}$.

L’ensemble des parties est constitué par définition d'1 partie à 0 élément, de n parties à 1 élément et ainsi de $n \choose k$ parties à $k$ éléments…

Le cardinal de l’ensemble des parties est donc égal à $ \sum_{k=0}^n {n \choose k}$.

Or selon de nombreuses démonstrations, on peut dire que $$\#\mathcal{P}(E)=2^{\#E}$$

Nous retrouvons bien notre égalité de départ.