En mémoire, un nombre peut être codé par de nombreux schémas différents:

• int (entier sur 16 bits en c++)
• uint64_t (entier sur 64 bits en c++)
• float32 (réel sur 32 bits)
• float64 (réel sur 64 bits)
• …..

Nécessaire :

Pour suivre ce tutoriel, vous devez savoir convertir des entiers décimaux en binaires. Si jamais vous avez un doute, vous pouvez checker mon article sur cette conversion : Convertir un entier non signé décimal en Binaire

Rappel :

Un nombre réel peut s’écrire avec une notation appelé notation scientifique. Par exemple: $74632 = 7.4632 \times 10^4$

Représentation en Virgule flottante :

Pour réduire la difficulté de cet exercice, les exemples utilisés et expliqués seront en float32 et non en float64.

Un float32 est composé de 3 parties: une partie signe, une partie exposant et une partie mantisse:

Nombre en Virgule flottante

1. Le signe est représenté sur 1 bit (0 pour un nombre positif, 1 pour un nombre négatif).
2. L’exposant est représenté sur 8 bits.
3. La mantisse est représenté sur 23 bits (fraction sur le schéma ci-dessus).

Exemple: -12,4375 en float32 :

Conversion de 12 en binaire :

$12_{10}=1100_2$

Si vous ne savez pas comment faire, retournez sur mon précédent article (ici).

Conversion de 0.4375 en binaire :

La méthode pour ce calcul est la suivante :

$0.4375 \times 2 = 0 + 0.875$

$0.875 \times 2 = 1 + 0.75$

$0.75 \times 2 = 1 + 0.5$

$0.5 \times 2 = 1 + 0$

On choisis de s’arrêter là car le reste est égale à 0.

Maintenant, en lisant de haut en bas, nous pouvons voir que $0.4375 = 0.0111$.

Déplacez la virgule :

$12.4375{10}$ donne $1100.0111_{2}$.

Pour une représentation en float32, nous devons représenter ce nombre en écriture scientifique :

$1100.0111 = 1.1000111 \times 10^3$

Pour calculer la mantisse, il suffit de relever la partie décimal et de la compléter avec 0 pour avoir 23 bits).

On sait maintenant que la mantisse est égale à $10001110000000000000000$.

Calcul de l’exposant :

On sait que le biais est de 127 pour un float32.

$1.1000111 \times 10^3$ a pour exposant $3$.

Ainsi, l’exposant biaisé est $127 + 3$, ce qui est égale à $130_{10}=10000010_2$.

Signe:

-12,4375 étant un nombre négatif, ainsi, son bit de signe sera 1.

Résultat:

En regroupant le tout (dans l’ordre Signe-Exposant-Mantisse).

La représentation float32 de -12,4375 est donc :